Matematika - I godina gimnazije
Geometrija
20. Teme ugla α je spoljašnja tačka kruga k. Kraci tog ugla određuju na krugu dva luka, koji su u razmeri 3:10. Veći od tih lukova odgovara centralnom uglu od β=40O. Kolika je mera ugla α. Rešenje
Problemi sa polinomima
3. Odrediti a i b tako da polinom bude potpun kvadrat. Rešenje
483. Ako je a + b + c = 0 , dokazati da je (a2 + b2 + c2)2 = 2(a4+ b4+ c4). Rešenje
484. Ako je x + y + z = 0 , i x2 + y2 + z2 = 1, izračunati x4 + y4 + z4. Rešenje
Funkcije
1. Date su funkcije f(x) = 3x - 4 i g(x) = x - 1. Odredi g ◦ f -1. Rešenje
2. Date su funkcije f(x) = 4x + 2 i g(x) =6 x - 5. Odredi f ◦ g -1. Rešenje poslala Lara
107a.Odrediti funkcije f(x) i g(x), koje zadovoljavaju sisteme: i . Rešenje
107b.Odrediti funkcije f(x) i g(x), koje zadovoljavaju sisteme: i . Rešenje
Kombinatorika
112. Koliko permutacija od cifara 1, 2, 3, ……, 8 počinje: a) sa 5; b) sa 123; c) sa 8642 ?
111. Koliko ima petocifrenih brojeva koji se mogu formirati od cifara 1,3,5,7,9 ?
122. Po pet različito numerisanih belih, plavih, crvenih i žutih kuglica treba nanizati , tako da bilo koje četiri uzastopne kuglice budu različite boje. Na koliko načina je ovo moguće izvesti?
114. Napiši sve četvorocifrene brojeve čiji je zbir cifara 10 a cifra desetica 5.
131. U razredu ima 28 učenika. Treba izabrati 3 učenika u rukovodstvo razredne zajednice. Na koliko je načina moguće izabrati rukovodstvo?
149. Na šahovskom turniru odigrano je 45 partija. Ako je svaki šahista odigrao partiju sa svakim učesnikom, odrediti broj učesnika.
Matematička indukcija
1080 a. Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi: . Rešenje
1080 b. Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi: . Rešenje
1080 c. Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi: . Rešenje
1080 d. Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi: . Rešenje
1080 e. Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi: . Rešenje
1081 a. Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi: . Rešenje
1081 b. Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi: . Rešenje
1081 c. Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi: .
1084 a. Dokazati da je za sve prirodne brojeve n ≥ 0: . Rešenje
1084 b. Dokazati da je za sve prirodne brojeve n ≥ 0: . Rešenje
1084 c. Dokazati da je za sve prirodne brojeve n ≥ 0: . Rešenje
1084 d. Dokazati da je za sve prirodne brojeve n ≥ 0: . Rešenje
1084 e. Dokazati da je za sve prirodne brojeve n ≥ 0 : . Rešenje
Rastavljanje polinoma na činioce
1. Rastaviti na činioce:
a) 5ax + 5ay – x –y
b) (x – y)2 – 16(x + y)2 Rešenje
2. Rastaviti na činioce:
a) 0,125x3 – (x + 1)3
b) (x + 2y)3 – (3x – 2y)3 Rešenje
842. Rastaviti na činioce sledeće kvadratne trinome:
a) ; b) ; c) ; d) . Rešenje
Celi brojevi
8. Odrediti sva rešenja jednačine х2 + у2+z2+xy+yz+zx = 6, ako su x,y i z celi brojevi. Rešenje
236. Odrediti sve prirodne trocifrene brojeve koji pri deljenju sa 7 daju ostatak 2, pri deljenju sa 9 daju ostatak 4 i pri deljenju sa 12 daju ostatak 7. Rešenje
237. Pitali prodavca koliko jabuka ima u korpi. On je odgovorio: ”Ako ih brojim po dve, ili po tri ili po četiri ili po pet ili po šest, uvek mi jedna pretekne (ostane). Ako ih brojim po sedam, ne ostane mi ni jedna.“ Koliko je bilo jabuka u korpi? Odrediti najmanji broj jabuka koji zadovoljava navedene uslove. Rešenje
239. Odredi sve trocifrene prirodne brojeve koje imaju zbir cifara 10 i deljivi su sa 11.
240. Ako je n prirodan broj onda n2 – n + 2001 nije deljivo sa 2002 ni za jedan prirodan broj n. Dokazati.
Algebarski razlomci
499. 8) Sabrati razlomke: . Rešenje
Prethodna strana: Matematika za VIII razred
Sledeća strana: Matematika - II godina gimnazije